Sofwan Hamidi

Rabu, 22 Juli 2020

MATRIKS KELAS XI

Definisi Matriks

Matriks secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

Bilangan-bilangan yang disusun pada matriks tersebut disebut dengan elemen-elemen matriks.

Ukuran matriks disebut dengan ordo matriks. Misalnya matriks berordo 3 x 2, maka matriks tersebut berikuran 3 baris 2 kolom.

Berdasarkan ordo matriks dan susunan elemen-elemennya, terdapat beberapa jenis matriks diantaranya matriks kolom, matrisk baris, matriks persegi, matriks persegi panjang, matriks segitiga, matriks diagonal, dan jenis matriks lainnya.

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo kedua matriks sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan masing-masing elemen yang bersesuaian dari kedua matriks tersebut.

Perhatikan contoh penerapan matriks berikut.

Penerapan Matriks

Matriks memiliki banyak sekali kegunaan.

Salah satu kegunaan matriks adalah dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan.

Dengan menggunakan matriks dalam penyelesaian permasalahan tentu akan menjadikannya lebih mudah. Jika dibandingkan dengan penggunaan metode eliminasi atau substitusi, penyelesaian sistem persamaan menggunakan matriks akan lebih efisien dalam penyelesaiannya.

Setelah mempelajari tentang penerapan matriks, selanjutnya akan dibahas mengenai perkalian matriks.

Perkalian Matriks

Terdapat dua jenis perkalian dalam matriks, yaitu perkalian skalar dengan matriks serta perkalian matriks dengan matriks. Mari simak perkalian skalar dengan matriks berikut.

Perkalian Skalar dengan Matriks

Misalkan terdapat suatu skalar k, dan matriks yang berordo m × n. Perkalian skalar dengan matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen pada matriks dengan skalar k.

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan terdapat matriks Matriks 1

. Jika kita kalikan matriks tersebut dengan bilangan 3, maka diperoleh

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai perkalian matriks dengan matriks.

Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian matriks dengan matrik dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris pada matriks pertama dengan setiap elemen kolom pada matriks kedua.

Perkalian matriks dapat dilakukan jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua (banyak kolom matriks pertama = banyak baris matriks kedua).

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan terdapat dua matriks Matriks 3

. Perkalian kedua matriks tersebut yaitu:

Contoh lainnya, misalkan terdapat dua matriks Matriks 5

. Perkalian kedua matriks tersebut yaitu:

Selanjutnya kita akan membahas mengenai transpose matriks.

Transpose Matriks

Transpose matriks dilakukan dengan mengubah elemen tiap baris ke dalam kolom dan juga sebaliknya. Misalkan terdapat matriks dengan ordo m × n. Transpose matriks tersebut memiliki ordo n × m.

Contoh:

Misalkan terdapat matriks Matriks 7

, transpose matriks tersebur, dilambangkan dengan At yaitu:

Selanjutnya akan disampaikan mengenai determinan matriks pada bagian berikutnya.

Determinan Matriks

Misalkan terdapat matriks A. Determinan matriks A disimbolkan dengan |A| atau det (A). Pada pembahasan ini akan dijelaskan mengenai determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3.

Determinan Matriks 2 × 2

Misalkan terdapat matriks Matriks 8

, determinan matriks P dapat dihitung dengan det (P) = |P| = ad – bc. Perhatikan contoh berikut.

Misalkan matriks Matriks 9

, determinan matriks tersebut adalah

Selanjutnya adalam materi mengenai determinan matriks 3 × 3.

Determinan Matriks 3 × 3

Determinan matriks 3 × 3 dapat ditentukan dengan metode kofaktor dan metode sarrus. Pada bagian ini kita akan belajar mengenai bagaimana menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode sarrus.

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan, terdapat matriks Matriks 3 x 3

, dengan menggunakan metode sarrus, determinan matriks tersebut yaitu:

Selanjutnya akan dibahas mengenai invers matriks.

Invers Matriks

Misalkan terdapat matriks A, invers dari matriks A disimbolkan dengan A-1 yaitu sebagai berikut.

Selanjutnya, ujilah pengetahuan kalian terkait matriks dengan soal berikut.

Contoh Soal Matriks

1. Diketahui sebuah matriks

maka hasil perhitungan dari x+2xy+y = …..

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus memahami sifat-sifat dan operasi perhitungan matriks untuk memudahkan Anda dalam proses penyelesaian soal tersebut.

Pertama, Anda harus menulis bentuk F+A-C seperti di bawah ini.

Dari bentuk matriks di atas, Anda dapat membentuk sebuah persamaan sesuai dengan baris dan kolom pada kedua ruas seperti 6+x = 8.

Dari persamaan ini, didapatkan nilai x=2. Kemudian Anda dapat memasukkan nilai tersebut pada persamaan 2 – y = -x atau y+6 = 5x. Sehingga di dapatkan nilai y adalah 4.

Anda dapat memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan x+2xy+y. Sehingga di dapatkan 2+2.2.4+4 = 22. Sehingga jawaban dari persamaan tersebut adalah 22.

2. Diketahui sebuah matriks

Jika X+Y = M. Maka tentukan nilai a+b = …

Pembahasan

Sama seperti soal sebelumnya, Anda harus menambahkan kedua matriks mengikuti persamaan yang diberikan seperti berikut ini.

Dari hubungan matriks pada kedua ruas memiliki posisi yang sama, maka Anda dapat secara langsung membentuk sebuah persamaan 2 + 3a = 8, sehingga di dapatkan nilai a = 2.

Hal ini juga Anda lakukan pada persamaan -2b – 2 = 10, sehingga nilai b = -6. Maka hasil a+b adalah 2 + (-6) = -4.

3. Diketahui suatu persamaan matriks berikut

Tentukan nilai 3x – 2y = ….

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus mengalikan angka 3 pada matriks pertama sehingga di dapatkan hasil

Hasil matriks ini kemudian Anda tambahkan dengan matriks kedua untuk mendapatkan hasil akhir seperti di ruas kanan.

Anda dapat menambahkan baris dan kolom yang sama pada kedua matriks di ruas kiri seperti di bawah ini.

4x – 4 = 8, sehingga didapatkan nilai x = 3.

2y + 3 = 13, sehingga didapatkan nilai y = 5.

Maka nilai 3x – 2y adalah 3(3) – 2(5) = -1

4. Diketahui suatu persamaan matriks tidak lengkap berikut.

Carilah hasil dari 2a + b – 2c + d = …..

Pembahasan

Langkah mengerjakan soal di atas, mirip dengan soal sebelumnya. Anda dapat mengalikan angka 2 dengan matriks pertama sehingga di dapatkan

Anda dapat membuat persamaan setara antara ruas kanan dan kiri seperti penyelesaian di bawah ini.

Anda perlu melakukan perkalian pada ruas kiri. Sehingga didapatkan bentuk yang sama antara matriks ruas kanan dan ruas kiri seperti di bawah ini.

Dari persamaan di atas, ruas kanan dan ruas kiri sudah setara sehingga Anda dapat mencari nilai a, b, c, dan d.

2a+4 = 8, maka nilai a = 2

-6 = 2c + 4, maka nilai c = -5

3 = 3d + 6, maka nilai d = -1

2 + b = cd + 12, maka nilai b = 15

Sehingga nilai dari 2a + b – 2c + d = 2.2 + 15 – 2(-5) + (-1) = 28

5. Diketahui matriks

jika C.O = A, Tentukan nilai det A

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus memahami konsep determinan matriks. Sifat determinan matriks menyatakan bahwa jika CO = A, maka det(C) x det(O) = det(A). Sehingga, untuk menentukan det(A), Anda cukup mencari nilai det(C) dan det(O).

det(C) = 2(6) – 4(5) = -8, det(O) = -1(2) – 1(0) = -2, sehingga det(A) = -8 x -2 = 16.

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 16.

6. Misalkan terdapat matriks Soal dan Pembahasan Matriks

Tentukan hasil operasi perkalian matriks tersebut.
Tentukan At.
Tentukan det (B).
Tentukan B-1.

Pembahasan

Kesimpulan

Apa yang telah kalian pelajari pada materi matriks ini?

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.
Perkalian pada matriks ada dua, yaitu perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks. Perkalian skalar dengan matriks yaitu dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar. Perkalian matriks dengan matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris matriks pertama dengan setiap elemen kolom pada matriks kedua.
Determinan matriks 2 × 2, misalkan terdapat . Sedangkan determinan matriks 3 × 3 dapat dihitung dengan metode sarrus.
Secara umum, invers matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan terdapat matriks A,

Rabu, 13 Mei 2020

MATERI KELAS XI - INTEGRAL TAK TENTU

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian tersebut ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Pertama, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu seperti sebelumnya dijelaskan merupakan invers/kebalikan dari turunan. Turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri. Perhatikanlah contoh turunan-turunan dalam fungsi aljabar berikut ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Integral tak tentu dari suatu fungsi dinotasikan sebagai:

$\int f(x) dx$

Karena integral dan turunan berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan. Jika turunan:

$\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n$

Maka rumus integral aljabar diperoleh:

$\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C$

dengan syarat $n \neq 1$ .

Sebagai contoh lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

$\int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C$
$\int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C$
$= -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C$
$\int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C$
$= x^4+x^3+C$

Sumber Belajar: https://www.studiobelajar.com/integral/

Rabu, 06 Mei 2020

ULANGAN HARIAN MATERI FUNGSI KUADRAT

1) Tentukanlah fungsi kuadrat dari gambar grafik di bawah ini!.

2). Sebuah grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di A(1, 0) dan B(2, 0). Apabila grafik tersebut juga melalui titik (0, 4), tentukanlah persamaan fungsi kuadratnya!

3). Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik, yaitu (-1,0) dan (3,0). Tentukan rumus fungsi kuadrat tersebut!.

4). Tentukan Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1,0), B(3,0), dan C(0,-6)!.

5). Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

Selasa, 28 April 2020

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
$ax^2 + bx + c = 0$
Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta $a \neq 0$ .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

$y = ax^2 + bx + c$

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

$y = ax^2$

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh $f(x) = 2x^2$ , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

$y = ax^2 + c$

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat $y = ax^2$ yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau $y_{puncak} = c$ . Sebagai contoh = $2x^2$ + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari $y = ax^2 + bx + c$ . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

$(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik $y = ax^2 + bx +c$ dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika $a> 0$ maka grafik terbuka ke atas, jika $a <$ maka grafik terbuka kebawah.

sifat grafik fungsi kuadrat kurva terbuka

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik $ax^2 + bx + c$ berada pada:

$x =-\frac{b}{2a}$

d. Titik potong sumbu y

Grafik $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

$ax^2 + bx + c$

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

Jika $D>0$ , grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika $D=0$ , grafik menyinggung sumbu x
Jika $D<0$ , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

titik potong sumbu x berdasarkan diskriminan

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik

Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

$y = ax^2 + bx + c$

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan $y = ax^2 + bx + c$ sebagai koefisien.